giới hạn của dãy số

1.  Lý thuyết giới hạn của dãy số

1.1. Dãy số đem số lượng giới hạn 0

Định nghĩa: Nếu với từng số dương nhỏ tùy ý  từng số hạng của mặt hàng số, Tính từ lúc một trong những hạng này tê liệt trở lên đường, đều sở hữu độ quý hiếm vô cùng nhỏ rộng lớn số dương tê liệt thì mặt hàng số (un) tê liệt đem số lượng giới hạn 0.

Bạn đang xem: giới hạn của dãy số

Tính chất:

$lim \frac{1}{n}=0; lim\frac{1}{n^{\alpha}}=0(\alpha>0); limq^{n}=0(\left | q \right |<1)$

Định lý:

$u_{n},v{n}:\left\{\begin{matrix} \left | u_{n} \right | \leq v_{n}\\ lim(v_{n})=0 \end{matrix}\right. \Rightarrow lim \, u_{n}=0$

1.2. Dãy số đem số lượng giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: Dãy số đem số lượng giới hạn hữu hạn là mặt hàng số lim (un – L) = 0(L là số thực) 

Tính chất:  

• $u_{n}=c$, đem số lượng giới hạn là c;

• $lim \,u_{n}=L \Leftrightarrow \left | u_{n}-L \right |$ bên trên trục số từ thực điểm $u_{n}$ cho tới L trở thành nhỏ từng nào cũng rất được miễn sao n đầy đủ lớn

Nói một cơ hội hình hình ảnh khi N tăng thì những điểm $u_{n}$ “chụm lại” 

• Không cần mặt hàng số này cũng có thể có số lượng giới hạn hữu hạn

Định lý:

• Với $lim(u_{n})=L$ thì tớ đem ấn định lý:

$lim\left | u_{n} \right |=\left | L \right |$ và $lim\sqrt[3]{u_{n}}=\sqrt[3]{L}$.

Nếu $u_{n}\geq 0$ với $\forall n$ thì $L\geq 0$ và $lim\sqrt{u_{n}}=\sqrt{L}$

• Nếu $lim\, u_{n}=L, lim\, v_{n}=M$ và c là một trong những hằng số thì tớ rất có thể suy ra

$lim(u_{n}+v_{n})=L+M$

$lim(u_{n}-v_{n})=L-M$

$lim(u_{n},v_{n})=LM$

$lim(cu_{n})=cL$

$lim\frac{u_{n}}{v_{n}}=\frac{L}{M}$(nếu $M\neq 0$)

1.3. Dãy số đem số lượng giới hạn vô cực

1.3.1. Dãy số đem số lượng giới hạn $+\infty$

Định nghĩa: Nếu với từng số dương tuỳ ý mang lại trước, từng số hạng của mặt hàng số, Tính từ lúc một trong những hạng này tê liệt trở lên đường, đều to hơn số dương tê liệt thì tớ gọi này là mặt hàng số $(u_{n})$ đem số lượng giới hạn $+\infty$

Hay tớ rất có thể hiểu, $lim \, u_{n}=+\infty$ nhập tình huống $u_{n}$ rất có thể to hơn một trong những dương rộng lớn tuỳ ý, Tính từ lúc số hạng này tê liệt trở đi

Tính chất: 

$lim\sqrt{u_{n}}=+\infty$

$lim\sqrt[3]{u_{n}}=+\infty$

$lim\,n^{k}=+\infty$ với một trong những vẹn toàn dương k mang lại trước

Trường ăn ý đặc biệt: $lim \, q^{n}=+\infty$

$lim \, q^{n}=+\infty$ nếu q > 1

1.3.2. Dãy số đem số lượng giới hạn $-\infty$

Định nghĩa: Nếu với từng số âm tuỳ ý mang lại trước, từng số hạng của mặt hàng số, Tính từ lúc một trong những hạng này tê liệt trở lên đường, đều nhỏ rộng lớn số âm tê liệt thì tớ thưa này là mặt hàng số đem số lượng giới hạn $-\infty$

Ký hiệu:  $lim \, u_{n}=-\infty$

Hay t rất có thể hiểu, $lim \, u_{n}=-\infty$ nếu un rất có thể nhỏ rộng lớn một trong những âm nhỏ tùy ý.

Tính chất: 

$lim\, u_{n}=-\infty \Leftrightarrow lim(-u_{n})=+\infty$

Nếu $lim\left | u_{n} \right |=+\infty$ thì un trở thành rộng lớn từng nào cũng rất được miễn n đầy đủ rộng lớn. Do tê liệt $\left | \frac{1}{u_{n}} \right |=\frac{1}{\left [ u_{n} \right ]}$ trở thành nhỏ từng nào cũng rất được, miễn n đầy đủ rộng lớn. Nói cách tiếp, nếu như limun=+ thì lim 1un=0

• Định lý: Nếu $lim\left | u_{n} \right |=+\infty$ thì $lim\frac{1}{u_{n}}=0$

Tham khảo tức thì cỗ tư liệu ôn luyện kỹ năng và kiến thức và tổ hợp cách thức giải từng dạng bài xích luyện nhập đề ganh đua Toán trung học phổ thông Quốc gia

2. Các dạng toán về giới hạn của dãy số và ví dụ

2.1. Dạng 1: Tính số lượng giới hạn mặt hàng số được mang lại vị công thức.

Ví dụ 1: Tìm $lim(n^{3}-2n+1)$?

Lời giải:

Ta có: $n^{3}-2n+1=n^{3}(1-\frac{2}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}$

Vì $lim\, n^{3}=+\infty$ và $lim(1-\frac{2}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}=1>0$ nên theo gót quy tắc 2, $lim(n^{3}-2n+1)=+\infty$

Ví dụ 2: Tìm $lim\sqrt[3]{\frac{8n^{2}-3n}{n^{2}}}$

Lời giải:

$lim\sqrt[3]{\frac{8n^{2}-3n}{n^{2}}}=lim\sqrt[3]{8-\frac{3}{n}}=\sqrt[3]{8}=2$

Ví dụ 3: 

a. Tìm $A=lim\frac{2n^{2}+3n+1}{3n^{2}-n+2}$

b. Tìm $B=\frac{n^{3}-3n^{2}+2}{n^{4}+4n^{3}+1}$

Lời giải:

2.2. Dạng 2: Tính giới hạn của dãy số mang lại vị hệ thức truy hồi

Ví dụ 1: Cho mặt hàng số $(u_{n})$ được xác lập vị $u_{1}=1, u_{n+1}=\frac{2(2u_{n}+1)}{u_{n}+3}$ với từng n ≥ 1. hiểu mặt hàng số $(u_{n})$ đem số lượng giới hạn hữu hạn, tính $lim\, u_{n}$

Lời giải:

Đặt $lim\, u_{n}=L \Rightarrow L=lim\frac{2(2u_{n}+1)}{u_{n}+3}$ 

$\Rightarrow L^{2}-L-2=0\Rightarrow L=2$ hoặc L = -1( loại)

Vậy $lim\, u_{n}=2$

Ví dụ 2: Cho $(u_{n})$ đem $u_{1}=1, u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_{n}+\frac{2}{u_{n}})$ với $\forall n\geq 1$. Tìm $lim \, u_{n}$?

Lời giải:

Sử dụng cách thức quy hấp thụ tớ minh chứng được $u_{n}>0 \forall n$

Tuy đề bài xích ko cung ứng tài liệu là mặt hàng số $(u_{n})$có số lượng giới hạn hữu hạn hay là không tuy nhiên coi đáp án đề bài xích cho đều khắp là những số lượng giới hạn hữu hạn. Nhớ tê liệt, tớ thể xác minh được mặt hàng số $(u_{n})$ đem số lượng giới hạn hữu hạn.

Đặt $lim\, u_{n}=L\geq 0$

$lim\, u_{n+1}=lim\frac{1}{2}(u_{n}+\frac{2}{u_{n}})$

Hay $L=\frac{1}{2}(L+\frac{2}{L})\Rightarrow L=\frac{2}{L}\Rightarrow L^{2}=2\Rightarrow L=\sqrt{2}$

Vậy $lim\, u_{n}=\sqrt{2}$ 

Ví dụ 3: Cho mặt hàng số $(u_{n})$ xác lập vị $u_{1}=1$ và $u_{n+1}=2u_{n}+\frac{1}{2}$ với $\forall n\geq 1$. Tìm $lim \, u_{n}$?

Lời giải: 

$v_{n}=u_{n}+\frac{1}{2}$. Ta có: $v_{n+1}=u_{n+1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=2u_{n}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=2(u_{n}+\frac{1}{2})=2v_{n}$

$\Rightarrow (v_{n})$ là cấp cho số nhân đem $v_{1}=\frac{3}{2}$ và q = 2. Vậy $v_{n}=\frac{3}{2}.3^{n-1}=3.2^{n-2}$

Do tê liệt $lim\, v_{n}=lim(3.2^{n-2})=+\infty$

2.3. Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số chứa chấp căn thức

Ví dụ 1: Tính $lim\sqrt{n^{2}+2n}-n$ 

Lời giải: 

$lim(\sqrt{n^{2}+2n-n}=lim\frac{(\sqrt{n^{2}+2}n)+(\sqrt{n^{2}+2n}-n)}{(\sqrt{n^{2}+2n}+n)}=lim\frac{n^{2}+2n-n^{2}}{\sqrt{n^{2}+2n}+n}$

$=lim\frac{2n}{\sqrt{n^{2}+2n}+n}=lim{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1}=\frac{2}{1+1}=1$

Ví dụ 2: Tính số lượng giới hạn của $I=lim(\sqrt{n^{2}-2n+3}-n)$

Lời giải: 

$I=lim(\sqrt{n^{2}-2n+3}-n)$
$=lim\frac{(\sqrt{n^{2}-2n+3}-n)(\sqrt{n^{2}-2n+3}-n)}{\sqrt{n^{2}-2n+3}-n}$
$=lim\frac{(n^{2}-2n+3)-n^{2}}{\sqrt{n^{2}-2n+3}+n}$
$=lim\frac{-2n+3}{\sqrt{n^{2}-2n+3}+n}$
$=lim\frac{-2+\frac{3}{n}}{\sqrt{1-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}}}+1}$
$=\frac{-2}{\sqrt{1}+1}=-1$

Ví dụ 3: Tìm $lim(n-\sqrt[3]{n^{3}+3n^{2}+1}$

Lời giải:

2.4 Dạng 4: Tính giới hạn của dãy số hữu tỉ

Ví dụ 1: Cho a = 2.151515..., số a còn được trình diễn bên dưới dạng $a=\frac{m}{n}$, (m,n là những số vẹn toàn dương). m + n =?

Lời giải: 

Ta có: $a=2,151515...=2+\frac{15}{100}+\frac{15}{100^{2}}+\frac{15}{100^{3}}+...$

Vì $\frac{15}{100}+\frac{15}{100^{2}}+\frac{15}{100^{3}}+...$ là tổng của csn lùi vô hạn với $u_{1}=\frac{15}{100},q=\frac{1}{100}$

Xem thêm: sơ đồ tư duy bài đất nước

$\Rightarrow a=2+\frac{\frac{15}{100}}{1-\frac{1}{100}}=\frac{71}{33}$

Vậy $m=71, n=33 \Rightarrow m+n=104$

Ví dụ 2: Bài mang lại số thập phân vô hạn tuần trả đem dạng 0,32111... Cũng được ghi chép bên dưới dạng phân số tối giản là $\frac{a}{b}$ (a,b là những số vẹn toàn dương). a - b =?

Lời giải:

Ta có:

$0,3211...=\frac{32}{100}+\frac{1}{10^{3}}+\frac{1}{10^{4}}+\frac{1}{10^{5}}+...=\frac{32}{100}+\frac{\frac{1}{10^{3}}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{289}{900}$
Vậy a = 289, b = 900 Do tê liệt, a - b = -611

Ví dụ 3: Tính $lim\left [\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \right ]$

$\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+....+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})$

Vậy $lim\left [\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \right ]=lim\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})=\frac{1}{2}$

2.5 Dạng 5: Tính giới hạn của dãy số chứa chấp lũy quá - mũ 

Ví dụ 1: $lim\frac{4^{n+1}+6^{n+2}}{5^{n}+8^{n}}=?$

Lời giải:

$lim\frac{4^{n+1}+6^{n+2}}{5^{n}+8^{n}}=lim\frac{4(\frac{4}{8})^{n}+36(\frac{6}{8})^{n}}{(\frac{5}{8})^{n}+1}=0$

Ví dụ 2: $lim\frac{2^{n}-3^{n}}{2^{n}+1}=?$

Lời giải:

Ví dụ 3: $lim(3.2^{n}-5.3^{n}+7n)=?$

Lời giải:
$lim(3.2^{n}-5.3{n}+7n)=3^{n}(-5+6(\frac{2}{3})^{n}+7)=-\infty$

Đăng ký tức thì sẽ được những thầy cô ôn luyện và thiết kế quãng thời gian ôn ganh đua trung học phổ thông môn Toán sớm đạt 9+

3. Một số bài xích luyện về giới hạn của dãy số kể từ cơ bạn dạng cho tới nâng lên (Có lời nói giải)

Ví dụ 1: Xác ấn định những số lượng giới hạn mang lại lưới đây:

a. $lim\frac{6n-1}{3n+2}$

b. $lim\frac{3n^{2}+n-5}{2n^{2}+1}$

Lời giải:

a. $lim\frac{6n-1}{3n+2}=lim\frac{n(6-\frac{1}{n})}{n(3+\frac{2}{n})}=lim\frac{6-\frac{1}{n}}{3+\frac{2}{n}}=\frac{6-9}{3-0}=2$

b. $lim\frac{3n^{2}+n-5}{2n^{2}+1}=limn23+1n-5n2n23+2n=lim{3+\frac{1}{n}-\frac{5}{n^{2}}}{2+\frac{1}{n^{2}}}=\frac{3}{2}$

Ví dụ 2: lim(5ⁿ - 2ⁿ)

Lời giải:

Ta có: $5^{n}-2^{n}=5^{n}(1-(\frac{2}{5}^{n})$

Vì $lim5^{n}=+\infty$ và $lim(1-(\frac{2}{5}^{n})=1>0$ nên theo gót quy tắc 2, $lim(5^{n}-2^{n})=+\infty$

Ví dụ 3: Tìm lim(3.2ⁿ⁺¹ - 5.3ⁿ + 7n) =?

Lời giải: 

$lim(3.2^{n+1}-5.3^{n}+7n)=3^{n}(-5+6(\frac{2}{3})^{n}+7\frac{n}{3^{n}}=-\infty$
Ví dụ 4: Cho mặt hàng số (u_n) xác lập u₁=0, u₂=1, u_n+1=2u_n-u_n-1+2 với từng $n\geq 2$. Tìm lim u_n?

Lời giải: 

Giả sử mặt hàng số bên trên đem số lượng giới hạn hữu hạn gọi  là L

$\Rightarrow lim\,u_{n}=2lim\,u_{n}-lim\,u_{n-1}+2\Leftrightarrow L=2L-L+2\Leftrightarrow 0=2$ ( Vô lý)

Vậy rất có thể Dự kiến mặt hàng số đem số lượng giới hạn vô cực kỳ. Nhìn nhập đáp án tớ thấy đem nhị đáp án vô cực kỳ ($-\infty$ và $+\infty$), vậy ko thể đoán là đáp án này. Ta coi nhị cơ hội giải sau.

Ta có: u₁ = 0, u₂ = 1, u₃ = 4, u₄ = 9. Vậy tớ rất có thể Dự kiến u_n = (n - 1)² với $\forall n\geq 1$. Khi tê liệt, 

u_n+1 = 2u_n - u_n-1 +2 = 2(n - 1)² - (n - 2² + 2) = n²

= [(n - 1) - 1]²

Vậy $u_{n}=(n-1)^{2}$ với $\forall n\geq 1$. Do tê liệt, $lim\,u_{n}=lim(n-1)^{2}=+\infty$

Ví dụ 5: Cho mặt hàng số (u_n) với $u_{n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{(-1)^{n+1}}{2}$. Tìm lim u_n

Lời giải:

u_n là tổng n số hạng trước tiên của một cấp cho số nhân đem $u_{1}=\frac{1}{2}$ và $q = \frac{-1}{2}$

Do tê liệt $u_{n}=\frac{1}{2}.\frac{1-(\frac{1}{2})^{n}}{1-(\frac{1}{2})}=\frac{1}{3}(1-(\frac{1}{2})^{n}\Rightarrow lim\,u_{n}=lim\frac{1}{3}(1-(\frac{1}{2})^{n})=\frac{1}{3}$

Ví dụ 6: Tìm $lim\, u_{n}$, với $u_{n}=\frac{1+2+...+n}{n^{2}+1}$.

Lời giải:

Ta có: $1+2+..+n=\frac{n(n+1)}{2}\Rightarrow \frac{1+2+...+n}{n^{2}+1}=\frac{n(n+1)}{2(n^{2}+1)}$

$\Rightarrow lim\, u_{n}=lim\frac{n(n+1)}{2(n^{2}+1)}=\frac{1}{2}$

Ví dụ 7: Tìm $lim\frac{1+5+9+...+4n-3}{2+7+12+...+5n-3}$

Lời giải:

Tử thức là tổng của n số hạng trước tiên của cấp cho số nằm trong (u_n) với n = 1, u_n = 4n -3 và công bội d = 4

Do tê liệt 1+ 5 + 9 +....+ 4n - 3 = 

Tương tự động tớ cũng có thể có 2 + 7 + 12 +...+ 5n - 3 = 

Như vậy 

Ví dụ 8: Tìm $D=lim\sqrt{n^{2}+2n}-\sqrt[3]{n^{3}+2n^{2}}$ 

Lời giải:

Ta có: 

D = 

= 

= 

Ví dụ 9: Thực hiện nay tô điểm lại căn nhà của tớ, chú mèo Tom đưa ra quyết định tô color một miếng vải vóc hình vuông vắn cạnh vị 1, mèo Tom tô color xám những hình vuông vắn nhỏ được khắc số thứu tự là 1 trong những, 2, 3,., n,.., hiểu cạnh của hình vuông vắn trước gấp hai cạnh hình vuông vắn sau nó (Giả sử tiến độ tô color của mèo Tom rất có thể ra mắt vô hạn).

a. Xác ấn định u₁,u₂,u₃ và u_n

b. Tính lim $S_{n}$ với S_n=u₁+u₂+u₃+...+u_n

Lời giải:

a. $u_{1}=\frac{1}{4}, u_{2}=\frac{1}{4}.(\frac{1}{4})=\frac{1}{4^{2}},..., u_{n}=\frac{1}{4^{n}}$

b. $lim S_{n}=lim14+142+...+14n=141-14=13$

Ví dụ 10: Tìm $lim(\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{2}{n^{2}+2}+...+\frac{n}{n^{2}+n})$

Lời giải: 

Tham khảo tức thì một trong những dạng bài xích luyện thông thường gặp gỡ về số lượng giới hạn hàm số với mọi thầy cô VUIHOC ngay

 Bài ghi chép bên trên tiếp tục ra mắt cho những em phần lý thuyết cơ bạn dạng và những dạng bài xích về giới hạn của dãy số. Đây là một trong những phần kỹ năng và kiến thức khó khăn và cần thiết nhập lịch trình toán 11 nên nhằm đạt được sản phẩm tốt nhất có thể những em học tập cần được nắm vững lý thuyết và tập luyện tăng những dạng bài xích luyện. Các em học viên rất có thể truy vấn nền tảng Vuihoc.vn và ĐK thông tin tài khoản nhằm luyện đề tức thì thời điểm hôm nay nhé!

Bài ghi chép xem thêm thêm:

• Cấp số nhân
• Cấp số cộng